長方形、正方形、円についていうと、
　長方形の面積よりも、正方形の面積のほうが大きく、正方形の面積よりも、円の面積のほうが大きいのです。
  つまり　 長方形＜正方形＜円　　　です。

 それぞれ、証明してみましょう。

　まず、一辺の長さがａの正方形があるとします。
　このとき、周囲の長さは　４ａ　で、面積は　ａ×ａ 　です。
　次に、縦辺の長さをｂだけ長くし、横辺の長さをｂだけ短くして、長方形にします。
　すると、縦の長さは　ａ＋ｂ　、横の長さは　ａ−ｂ　ですから、
　長方形の面積　＝　（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）
　　　　　　　　　　　＝　ａ×ａ − ｂ×ｂ
　つまり、元の正方形の面積から　ｂ×ｂ　を引いたものです。
　したがって、ｂが小さければ小さいほど、長方形の面積が大きくなります。
　つまり、ｂ＝０ ならば、長方形の面積は最大になります。
　これって、正方形ですね。

　さきほどの例にそくしていえば、
　円周が　４ａ　の円の直径は　　４ａ／π
　したがって、半径は　その半分ですから　２ａ／π
　したがって、面積は　　　２ａ／π　×　２ａ／π　×　π
　　　　　　　　　　　　 　＝　４ａ×ａ／π
　一辺の長さが ａ の正方形の面積は　ａ×ａ　ですから、
　ａ×ａ　＜　４ａ×ａ／π　といえればいいのです。
　両辺を　ａ×ａ　で平等に割ると、　この式は　１＜４／π　となります。
　つまり、４／π が １ よりも大きければ、いいのです。
　もちろん、４／３．１４＝１．２７　ですから、たしかに１より大きい。
　したがって、円の面積のほうが大きい、というわけです。